خانه
گاما

درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی و آمار (2) کلاس یازدهم انسانی و معارف

درس 2: استدلال ریاضی

بازدید17/3 K
تاریخ بروزرسانی1400/09/15

در درس گذشته با انواع گزاره‌ها و جدول ارزشی گزاره‌ها آشنا شدید. از طرفی در سال گذشته انواع استدلال‌های منطقی و قیاس‌ها را در کتاب منطق خود فراگرفتید. در این درس ابتدا به نحوهٔ تبدیل گزاره‌های توصیفی به نمادهای ریاضی و سپس با استفاده از قواعد و قضایای منطقی به استدلال ریاضی می‌پردازیم. در اینجا منظور از استدلال ریاضی استفاده از ریاضی و نیز قواعد منطق گزاره‌ها در حل مسائل و همچنین اثبات یا رد یک گزاره به کمک ریاضی است.

اولین گام برای استدلال ریاضی این است که یک عبارت توصیفی را به زبان ریاضی بازنویسی کنیم. در ادامه با مثال‌هایی از تبدیل عبارت‌های توصیفی به زبان و نمادهای ریاضی آشنا می‌شوید.

مثال 1: سال گذشته با عبارت زیر آشنا شدید.

«ما و ما و نصف ما و نیمه‌ای از نصف ما، گر تو هم با ما شوی، ما جملگی صد می‌شویم».

اکنون عبارت فوق را به‌صورت نماد ریاضی بازنویسی می‌کنیم. کافی است به جای «ما» در ابتدای عبارت از $x$ استفاده کنیم. در این صورت خواهیم داشت:

$\underbrace {x + x}_{2x} + \frac{1}{2}x + \underbrace {\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x)}_{\frac{1}{4}x} + 1 = 100 \to 2x + \frac{3}{4}x + 1 = 100 \to \frac{{11}}{4}x + 1 = 100$

بنابراین عبارت توصیفی فوق به‌صورت «$\frac{{11}}{4}x + 1 = 100$» بازنویسی شد که به وضوح یک معادلهٔ ریاضی است.

مثال 2: به عبارت زیر که عیناً از کتاب خلاصة الحساب تألیف شیخ بهایی،انتخاب شده است، توجه کنید:

عَدَدُۤ ضُِربَ فی نصِفه وَزیدَ عَلَی الحٰاصِلِ اثنٰا عَشَرَ حَصَلَ خَمسَةُ اَمثالِ العَدَِد.

«عددی را در نصف خودش ضرب کردیم، آنگاه بر حاصل ضرب عدد 12 را افزودیم. حاصل 5 برابر عدد منظور شد». برای تبدیل عبارت کلامی بالا به‌صورت نماد ریاضی، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

عدد منظور را $x$ در نظر بگیرید. در نتیجه عبارت بالا به‌صورت زیر در خواهد آمد:

$x \times \left( {\frac{1}{2}x} \right) + 12 = 5x\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{1}{2}{x^2} + 12 = 5x \Rightarrow \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 12 = 0$

عبارت فوق یک معادلهٔ درجه دوم است.

مثال 3: عبارت «ده درصد قیمت فروش کالایی، برابر سود آن است.» را به‌صورت نماد ریاضی بیان می‌کنیم.

کافی است قیمت فروش این کالا را $x$ و قیمت خرید آن را $y$ در نظر بگیریم:

$\frac{{10}}{{100}}x = x - y$

کار در کلاس (صفحه 13 کتاب درسی)

 

عبارات زیر را به‌صورت نماد ریاضی بازنویسی کنید.

الف) عددی به علاوهٔ پنج، مساوی دو برابر آن عدد است.
ب) حاصل ضرب دو عدد حقیقی، برابر مجموعشان است.
پ) حاصل ضرب عددی در خودش به علاوهٔ 3، بزرگ‌تر از خودش است.

در کتاب منطق با انواع قیاس‌ها آشنا شدید. قیاس‌ها ابزارهای مهمی در استدلال و به‌ویژه استدلال ریاضی هستند.

یکی از انواع قیاس‌ها که در استدلالات ریاضیاتی کاربرد فراوان دارد، «قیاس استثنایی» است. در زیر با ذکر مثالی از این نوع قیاس آن را یادآوری می‌کنیم.

مقدمه 1: اگر امشب شب چهاردهم ماه باشد، آنگاه ماه کامل است.
مقدمه 2: امشب، شب چهاردهم ماه است.
نتیجه: ماه کامل است.

استدلال بالا را می‌توان به‌طور کلی به شکل زیر صورت‌بندی کرد.

و یا با استفاده از نماد گذاری‌های درس قبل داریم:

$\begin{gathered}
  p \to q \hfill \\
  p \hfill \\
  \_\_\_\_\_\_ \hfill \\
  \therefore q \hfill \\ 
\end{gathered} $

که در اینجا سه نقطه $(\therefore )$ نماد نتیجه است.

گاهی از این قیاس به شکل نادرست استفاده می‌شود و منجر به نتیجه‌گیری نادرست می‌شود. به این‌گونه استدلالات، مغالطه می‌گویند. در زیر به مثالی از این نوع پرداخته شده است.

مثال 1:

$\therefore$ باران باریده است.

در استدلال فوق طبق قیاس استثنایی، مقدمه دوم باید $p$ باشد و نه $q$، پس استدلال فوق نادرست است (زمین می‌تواند به دلیل دیگری غیر از باریدن باران خیس شده باشد).

با استفاده از نمادهای ریاضی و قواعد منطقی می‌توان مسائل زیادی را حل کرد. استفاده از نمادهای ریاضی اغلب باعث شفاف‌تر شدن مسئله و سهولت در به‌کارگیری قواعد منطقی می‌شود. در زیر به نمونه‌ای از استدلال ریاضی در حل مسائل پرداخته شده است.

کار در کلاس (صفحه 15 کتاب درسی)

 

1) با استفاده از جدول ارزشی، درستی قاعدهٔ قیاس استثنایی $((p \Rightarrow q) \wedge p) \Rightarrow q$ را نشان دهید.

2) در هر یک از استدلال‌های زیر، جای خالی را با عبارت مناسب پر کنید تا قیاس کامل شود.

$\begin{gathered}
  p:3 > 0\,\,\,\, \Rightarrow 4 > 1 \hfill \\
  p:3 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
  \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \hfill \\
  \therefore \,\,................ \hfill \\ 
\end{gathered} $

خطوط ${L_1}$ و ${L_2}$ هیچ‌گاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند: $ \Rightarrow q$ خطوط ${L_1}$ و ${L_2}$ موازی باشند $p:$

..............................................................................................
خطوط ${L_1}$ و ${L_2}$ هیچ‌گاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند.    $\therefore $

مثال 2: سه لیوان همانند شکل زیر داریم که یکی از آنها وارونه است. می‌خواهیم همهٔ آنها در حالت درست (رو به بالا) قرارگیرند؛ ولی مجاز هستیم تا هر بار دقیقاً دو لیوان را تغییر وضعیت دهیم (اگر وارونه است، آن را درست کنیم و برعکس). سؤال این است که آیا این کار امکان‌پذیر است؟ اگر بلی با چند حرکت مجاز؟ امتحان کنید!

پاسخ: به کمک یک استدلال ساده ریاضی که در ادامه می‌آید، نشان می‌دهیم که این کار امکان‌پذیر نیست. برای این کار داریم:

تعداد لیوان‌های وارونه $s = $
وضعیت فعلی (یک لیوان وارونه است): $s = 1$
وضعیت مطلوب (هیچ لیوانی وارونه نباشد): $s = 0$

حرکت مجاز: در هر بار دقیقاً دو لیوان تغییر وضعیت دهد.

بنابراین $s$ همیشه به اندازهٔ عددی زوج (یا 2- یا 2+ یا 0) تغییر می‌یابد و هرگز از 1 به 0 کاهش نمی‌یابد.

کار در کلاس (صفحه 15 کتاب درسی)

 

1) مثال سه لیوان را در حالت زیر بررسی کنید. آیا فقط یک راه‌حل دارد؟

2) مثال سه لیوان را برای حالتی که بیش از 3 لیوان داریم و تعداد فردی از لیوان‌ها را که وارونه هستند، بررسی کنید. آیا استدلال گفته شده در آنجا قابل تعمیم به حالت اخیر است؟

تذکر: در درس قبل دیدیم که دوگزارهٔ شرطی $p \Rightarrow q$ و $ \sim q \Rightarrow  \sim p$ هم‌ارزند. به‌عبارت دیگر اگر بخواهیم ثابت کنیم گزاره شرطی $p \Rightarrow q$ درست است و این کار دشوار باشد، به جای آن می‌توان ثابت کرد $ \sim q \Rightarrow  \sim p$ درست است. در این حالت می‌گوییم عکس نقیض گزارهٔ اصلی را ثابت می‌کنیم.

مثال 3: ثابت کنید «اگر ${n^2}$ زوج باشد آنگاه $n$ زوج است $n \in Z$.»

اگر فرض کنیم

${n^2}$ زوج است $p:$
$n$ زوج است $q:$

و بخواهیم از درستی گزارهٔ $p$ به گزارهٔ $q$ برسیم، مسیر اثبات دشوار است. برای این کار از عکس نقیض گزارهٔ $p \Rightarrow q$ یعنی $ \sim q \Rightarrow  \sim p$ استفاده می‌کنیم. یعنی نشان می‌دهیم اگر $n$ زوج نباشد (یعنی فرد باشد، چون حالت دیگری وجود ندارد)، آنگاه ${n^2}$ زوج نیست (یعنی ${n^2}$ فرد است).

$n \Rightarrow n = 2k + 1 \Rightarrow {n^2} = {(2k + 1)^2} = 4{k^2} + 4k + 1$ فرد است
$ \Rightarrow {n^2} = 2(\underbrace {2{k^2} + 2k}_m) + 1 \Rightarrow {n^2} = 2m + 1$

تساوی اخیر نشان می‌دهد که ${n^2}$ فرد است و لذا حکم به‌دست می‌آید.

گاهی در یک استدلال یا اثبات ریاضی دچار خطا می‌شویم. یافتن خطا در یک استدلال برای رفع ایراد آن بسیار مهم است. گاهی یک استدلال غلط برای سال‌ها درست پنداشته می‌شود تا اینکه دانشمندی به غلط بودن آن پی می‌برد. کشف محل اشکال در یک استدلال همواره ساده نیست و نیاز به مهارت و دقت دارد. به مثال‌های زیر دقت کنید.

مثال 1: دانش‌آموزی ادعا می‌کند که معادلهٔ ${x^2} - x = 0$ تنها یک ریشه دارد و آن $x = 1$ است. استدلال او در زیر آمده است.

${x^2} - x = 1$ (1

تجزیهٔ معادله      $x(x - 1) = 0$ (2

تقسیم طرفین بر ساده‌سازی      $\frac{{\cancel{x}(x - 1)}}{{\cancel{x}}} = \frac{0}{x}$ (3

حاصل ساده‌سازی و تبدیل به معادله ساده‌تر      $x - 1 = 0$ (4

جواب معادله      $x = 1$ (5

ایراد این استدلال در این است که در گام سوم اجازه تقسیم بر $x$ وجود ندارد، چون $x$ ممکن است صفر باشد و عبارت بی‌معنا می‌شود.

مثال 2: دانش‌آموزی گزارهٔ «$a \lt b \Rightarrow ac \lt bc$» را که $a$، $b$ و $c$ اعداد حقیقی‌اند، به‌صورت زیر ثابت کرده است. ایراد این استدلال را پیدا کنید.

$a \lt b$ (1

طرفین را با $c$ جمع می‌کنیم.      $a + c \lt b + c$ (2

طرفین نامساوی قبل را در $c$ ضرب می‌کنیم.      $c(a + c) \lt c(b + c)$ (3

$c$ را در پرانتز‌ها ضرب می‌کنیم.      $ac + {c^2} \lt bc + {c^2}$ (4

چون ${c^2}$ عددی همواره مثبت است، می‌توان آن را از طرفین کم کرد.      $ac + \cancel{{{c^2}}} \lt bc + \cancel{{{c^2}}}$ (5

$ac \lt bc$ (6

ایراد این استدلال در گام سوم است. چون علامت $c$ معلوم نیست (ممکن است مثبت یا منفی باشد)؛ پس نمی‌توان آن را در طرفین نامساوی ضرب کرد. به عنوان مثال اگر $a = 1$ و $b = 2$ و $c =  - 1$ باشد، آنگاه گزاره فوق معادل است با «$1 \lt 2 \Rightarrow  - 1 \lt  - 2$» که آشکارا نادرست است.

کار در کلاس (صفحه 17 کتاب درسی)

 

سؤال زیر در یک امتحان ریاضی داده شده است.

«اگر $a = \frac{{a - b}}{{c - d}}$ آنگاه مطلوب است $d$. $(a \ne 1)$.»

استدلال‌های زیر را برای به‌دست آوردن $d$ از برگه‌های امتحانی دانش‌آموزان آورده‌ایم.

کدام یک از استدلال‌ها درست و کدام نادرست است؟ دلیل نادرستی هر استدلال غلط را بیان کنید.

الف)

$\cancel{a} = \frac{{\cancel{a} - d}}{{c - d}}$ (1

$0 = \frac{{ - d}}{{c - d}}$ (2

$d = 0$ (3

ب)

$a = \frac{{a - d}}{{c - d}}$ (1

$ac - ad = a - d$ (2

$ac - a = ad - d$ (3

$a(c - 1) = (a - 1)d$ (4

$\frac{{\cancel{a}(c - 1)}}{{\cancel{a} - 1}} = d$ (5

$ - (c - 1) = d$ (6

پ)

$a = \frac{{a - d}}{{c - d}}$ (1

$a(c - d) = a - d$ (2

$ac - a = ad - d$ (3

$ac - a = (a - 1)d$ (4

$\frac{{ac - a}}{{a - 1}} = d$ (5

تمرین (صفحه 18 کتاب درسی)

 

1) گزاره‌های زیر را به‌صورت نماد ریاضی بازنویسی کنید.

الف) دو برابر جذر عددی برابر خودش است.

ب) مکعب یک عدد، بزرگ‌تر از هفت برابر آن عدد، به علاوهٔ پنج است.

پ) مجموع معکوس‌های دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی مجموع آن دو عدد است.

ت) مجموع مکعبات دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی مکعب مجموع آن دو عدد است.

ث) هر عدد ناصفری از معکوس خود بزرگ‌تر یا مساوی با آن است.

2) در هر مورد گزاره‌ای همراه با یک استدلال نادرست برای آن داده شده است. دلیل نادرستی استدلال را بیان کنید.

الف) اگر طول و عرض یک مستطیل را دو برابر کنیم، آنگاه مساحت آن نیز دو برابر می‌شود.

$:x$ طول
$:y$ عرض
$S = xy$ مساحت
مساحت دو برابر شده است. $2(xy) = 2\underbrace {xy}_S = 2S \to $

ب) در یک مثلث قائم‌الزاویه به اضلاع قائمه $a$ و $b$ و وتر $c$ همانند شکل زیر اگر ضلع $a$ را دو برابر کنیم، آنگاه وتر آن نیز دو برابر می‌شود.

استدلال: می‌دانیم در مثلث قائم‌الزاویهٔ بالا قضیهٔ فیثاغورث به‌صورت زیر برقرار است:

${c^2} = {a^2} + {b^2}$

اکنون این رابطه را برای مثلث قائم‌الزاویهٔ جدید نیز می‌نویسیم:

${c'^2} = {(2a)^2} + {b^2} = 4{a^2} + {b^2} = 4(\underbrace {{a^2} + {b^2}}_{{c^2}}) = 4{c^2} \Rightarrow $
${c'^2} = 4{c^2} \Rightarrow c' = 2c$

پس وتر دو برابر شده است.

پ) تساوی $\sqrt {\frac{{12 \times 3 + 4 \times 16}}{6}}  = 2\sqrt {11} $ برقرار است.

$\sqrt {\frac{{12 \times 3 + 4 \times 16}}{6}}  = \sqrt {\frac{{12 \times \cancel{3} + 4 \times 16}}{{2 \times \cancel{3}}}}  = \sqrt {\frac{{12 + \mathop {\cancel{4}}\limits^2  \times 16}}{{\cancel{2}}}}  = \sqrt {12 + 32}  = \sqrt {44}  = \sqrt {14 \times 11}  = 2\sqrt {11} $

درس 2: استدلال ریاضی